Nullstellen berechnen wir, indem wir unseren Funktionsterm gleich 0 setzen. Dieser Schritt ist in jedem Fall notwendig und es spielt keine Rolle, ob es sich bei unserer Funktion um eine lineare oder quadratische Funktion handelt.

Wir gehen davon aus, dass uns die folgende Funktionsvorschrift vorliegt:

$y=2\cdot x-4$. Wir setzen unseren Funktionsterm also gleich $0$ und erhalten: \[0=2\cdot x-4\]

Selbstverständlich dürfen wir auch die beiden Seiten unserer Gleichung vertauschen:

\[2\cdot x-4=0 |+4\] \[2\cdot x=4 |\div 2\] \[x=2\]

Daniel erklärt das Ganze nochmal in seinem Video

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Schau dir zum Einstieg Daniel’s Video zu quadratischen Funktionen an!

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Funktionen der Form $y=a\cdot x^2+c$

\[y=2\cdot x^2-8\] \[2\cdot x^2-8=0 |+8\] \[2\cdot x^2=8 |\div 2\] \[x^2=4 |\sqrt{}\] \[x=\pm 2 \Longrightarrow x_1=2\vee x_2=-2\]

Merkt euch, dass wir beim Wurzelziehen immer zwei Lösungen erhalten. Eine ist positiv und die andere ist negativ.

Funktionen der Form $y=a\cdot x^2+b\cdot x$

\[y={2\cdot x}^2+2\cdot x\] \[{2\cdot x}^2+2\cdot x=0\]

Zuerst müsst ihr einen gemeinsamen Faktor ausklammern. Das ist in den meisten Fällen immer ein $x$:

\[x\cdot \left(2x+2\right)=0\]

Jetzt gilt der folgende Satz: Ein Produkt ist immer genau dann gleich $0$, wenn mindestens ein Faktor gleich $0$ ist. Das bedeutet, dass das Ergebnis einer Multiplikation nur dann gleich $0$ sein kann, wenn wir auch mit $0$ multiplizieren. Denn nur $0$ multipliziert mit irgendwas oder irgendwas multipliziert mit $0$ ergibt auch $0$. Wir dürfen also unsere beiden Faktoren unabhängig voneinander gleich $0$ setzen: \[x=0\ \vee \ 2x+2=0\]

Auf diesem Wege erhalten wir direkt auch schon unsere erste Lösung, nämlich $x=0$. Um unsere zweite Lösung zu bestimmen, lösen wir den Term, welcher in der Klammer steht, separat auf: \[2x+2=0 |-2\] \[2x=-2 |\div 2\] \[x=-1\] Unsere beiden Lösungen lauten also: $x=0\vee x=-1$.

Funktionen der Form $y=a\cdot x^2+b\cdot x+c$ können ausschließlich mit der $pq$-Formel gelöst werden. Diese lautet: \[x_{1/2}=-\frac{p}{2}\pm \sqrt{{\left.\left(\ \frac{p}{2}\ \right.\right)}^2-q}\] Beispiel: Berechne die Nullstellen zu der Funktion $y=2\cdot x^2-4\cdot x-6$. In diesem Fall ist es besonders wichtig, dass ihr die Gleichung vorher normiert. Ihr müsst lediglich die gesamte Gleichung durch den Faktor teilen, welcher vor dem $x^2$ auftaucht: \[2\cdot x^2-4\cdot x-6=0 |\div 2\] \[x^2-2\cdot x-3=0\]

Jetzt können wir unsere beiden Werte sowohl für $p$ als auch für $q$ bestimmen. Das $p$ findet ihr immer direkt vor dem einfachen $x$, also $p=-2.$ Das $q$ ist immer die konstante Zahl in unserer Gleichung, also $q=-3$. Merkt euch, dass die Vorzeichen eine wichtige Rolle spielen und ihr diese auf jeden Fall berücksichtigen müsst. Jetzt setzen wir unsere beiden Werte in die $pq$-Formel ein:

\[x_{1/2}=-\frac{-2}{2}\pm \sqrt{{\left.\left(\ \frac{-2}{2}\ \right.\right)}^2-(-3)}\] \[x_{1/2}=1\pm \sqrt{({1)}^2+3}\] \[x_{1/2}=1\pm \sqrt{1+3}\] \[x_{1/2}=1\pm \sqrt{4}\] \[x_{1/2}=1\pm 2\] \[x_1=1+2=3\ \vee \ x_2=1-2=-1\]

Bei solchen Gleichungen bestimmt der Term unter der Wurzel, wie viele Lösungen ihr erhaltet. Er nennt sich Diskriminante und es gelten die folgenden Regeln: